拾记|年度总结|2022-2023学年第一学期
本文是笔者对2022年7月-2022年12月的个人总结，也是对2023年1月-2023年6月的展望。
序言
又是忙碌的半年，总算是走完了申请的半途。回望这整个准备申请材料、综合评估自己的能力和水平、明确申请方向的整个过程，再次回忆踩过的坑和受到的各种帮助，
对过去半年的一点点小结（概览）
我的第一份科研并不理想，这是我后来决定申请应用数学的主要原因。上个学期为了接触和了解应用数学，我去三个学院选修了相关的课程。
暑假主要做了四件事：为了获得科研经历，暑假做了一份应用数学的暑研（虽然事后看来并不应用数学）；准备托福成绩；参加BeBeyond的workshop（申请培训）；积极和应用数学专业的各个老师沟通（包括一些套瓷以及和北大计算数学系老师的面谈），了解应用数学的各个方向，寻求建议。
这个学期则主要在做三件事：准备申请所需要的各种材料（文书、推荐信等）；继续进行科研（暑研）；课程学习（时间主要就花在计算机系统导论、实变函数、偏微分方程这三门课上）。
整个总结会围绕着科研、申请、学习展开。在学习模块，简要回顾完这个学习的课程之后，我会稍微介绍我目前建立的“面向科研学习”的框架。有了这些作为基础之后，结合申请过程中的套瓷与各个老师的建议，还会进一步讨论可能的优势和对未来的展望。最后是对接下来半年的展望。
科研经历回顾
第一份科研的回顾
真正下定决心决定出国是在大三上，那个时候我也找了第一份科研。老师人非常好，非常和蔼也非常乐意提供帮助（事实上，尽管我其实到最后也什么都没做出来，他非常爽快地为我后来转行提供了很大帮助），组内的氛围也很相当和谐。
但很不幸，事后想来，那并不是一份和我匹配的科研。 当时，它是我的第一段科研经历，对于当时的我来说，我对科研还一无所知，还完全没建立诸如科研的风格、科研中的优势等等概念。当时我其实也并没有特别排斥手上的科研，只是在做了一段时间之后觉得我并非特别喜欢它，没有什么动力，因此也没有花很多时间在上面。
以下都只是对于这段经历的一些事后诸葛亮的分析了：
首先，科研的风格和我不匹配。 老师是写大型代码出身的，现在也在致力于开发和推广软件平台，因此科研的题目也很偏编程。我拿到的题目是将CPU并行程序改成GPU并行，这是一个纯编程的项目。科研的风格并不是非常适合我，我更倾向于去设计算法（数学），或者提出想法解决实际的工程问题（工程），计算机对我来说只是工具，它很重要，但不能成为科研的全部。另外，老师其实是非常典型的工科老师，他的思维方式侧重于去解决问题，而不追求对问题的理解。他曾对我和其他课题组的成员说过很多次类似于能用就行、开始做科研之后就没必要再系统地学知识这种类型的话。这和我的理念是背道而驰的。
其次，科研的选题对我来说并不能称得上很好。 在学完《计算机系统导论》之后，我意识到，GPU编程实际上是一个比较high-level的领域，想要对之进行了解，必须建立在对计算机系统的理解之上。没有这些基础，直接去做GPU和CPU的编程会是很痛苦的，这无异于空中楼阁，你会根本无法清楚地知道每一行代码的确切含义，不知道自己在做什么。而科研讲求创造，因而必须对自己在做的每一件事非常了解和清楚，否则后果就是不可知的，努力了好一会儿结果可能是白忙活。 但我当时没有意识到这个问题，也不知道该如何去补充相关的知识及学习顺序，没有相关的学习资源。况且老师并不是计算机出身的，他对于计算机系统里的概念了解也比较有限，他能给的帮助也非常有限，课题组里也没有其他人从事相关的研究。这里令我印象最深的一件事情就是，当时我把CPU并行的mpi代码改成了openmp的，结果发现程序运行出错了。在Debug的时候，我发现openmp和mpi编程的逻辑并不一样，openmp声明变量只会在全局创建一份变量，但mpi会在每个CPU核心上创建一份变量。我将这个发现和老师还有师兄师姐说了之后，他们也都表示非常神奇，是第一次听说和遇到。然而，在我在上完这个学期的《并行与分布式计算基础》之后，我终于真正明白了当初遇到的问题。但同时我也大受震撼，因为我遇到的问题，其实是并行计算里最最基本的两个概念，共享内存并行计算模型和分布式并行计算模型。它们是并行计算的课程中，第一堂课就会提到的概念。老师是做超算写并行代码出身的，但当时组里和实习机构里我求助的人居然无一人知晓这个概念，现在回想起来，我感觉是有点恐怖的。这无异于一枚隐藏在深处的定时炸弹。你不知道它什么时候会引爆，但它始终在那儿。
第三，当时的我是不太知道，应该如何就遇到我当时的情况和老师沟通的。 因此我后来选择了沉默。从事后看来，这其实是非常不可取的。因为就我后来的观察，大多数老师是很愿意和学生们坦诚沟通的。作为学生，合理且合适地表达清楚诉求就好。
最后必须指出，虽然第一份科研对我来说可以说是失败的，但事后分析，其主要原因在于，我是一个初入科研的新手，还不会系统地分析所遇到的困难，并给出相应的解决办法。 当初我遇到上述所说的这么多困难的时候，又加上课业上的压力和沟通能力的匮乏，我其实选择了逃避。现在看来，我应该有很多种办法去解决当时遇到的问题。老师其实也尽他所能地给予了足够多的帮助，我也得以有机会在他的课题组里了解科研。但可能确实是条件和时运使然，我无法在他的课题组里进一步推进我的工作。
第二份科研的回顾
第二份科研就是我现在做的暑研。上个学期末的时候，我成功申请了一份大佬带的暑研。目的当然是为了获得一些应用数学方向的科研经历，因为在这之前我没有任何有效的科研经历。科研进行到现在，已经快6个月了（虽然实际上的有效时间远远不及），我在申请季之前也算是做出了一些小成果，但距离实现整个大题目依旧遥遥无期。因为这段经历其实还没做完，因此成败也难以定论，所以这里仅仅只是从体验角度，对一段经历的得失进行一些分析。叙述整个科研的过程会是索然无味的，这里仅罗列一些我对到目前为止的这段经历的反思：
对我来说整体的体验要好于第一段，因为这次我不再是单打独斗，真正指导我的老师对相关方法有一定了解，也对该方法寄予厚望。组里的学长非常愿意提供帮助。我也终于得以在这段科研经历中，初尝科研的真正感觉。总而言之，这段科研从体验的角度来说是非常棒的。
但不幸的是，当我拿着这段科研经历去申请的时候，遇到了三个严重的问题。现在想来，还是有些遗憾。
第一个问题还是选题上的问题，尽管我名义上是跟着计算数学的老师在做科研，但实际上做的题目是相当工程的，没有任何数学推导，是一个纯应用的题目。 我对题目和应用场景也是完全陌生的。不过，题目陌生其实只要花点时间熟悉就行了，真正给我带来大麻烦的是这个科研的性质。面试的时候，计算数学的老师并不待见这种风格的题目，尤其是如果我还想跟着他们做计算数学的研究，他们对我的数学能力表示担心。而且对这种担心，我也很难做出比较好的回应，唯一的凭借只有课程成绩，但那毕竟有些苍白。
对于这一点，其实有些无奈的成分。比较数学的课题一般都需要实变函数和泛函分析作为基础，否则连相关的论文都读不懂。而我当时确实没有这些基础。
第二个问题其实还是选题带来的，我后来才意识到，把这个题目真正做出来点成果需要的周期是有点长的。 而我还是初入科研、还在适应的新手，并且暑假和上个学期还是在课程、申请（英语）、科研三者并行的情况下。尽管已经在申请季前做了最大的努力，但方法本身还是存在问题，没办法直接应用，我需要对它做一些改进。虽然我已经作了些改进，并且也得到一些比较可观的结果，但解决最原始的问题事实上需要更多的改进。因为没解决最开始既定的问题，这段科研在很多老师眼里并不是“特别有说服力”，只能说是“好的经历”。这给我在顶尖项目的申请上带来了很大麻烦。现在就只能寄希望于运气，希望有匹配的老师愿意捞我。
第三个问题是，做科研前没能对老师好好进行调研。 后来我才了解到，这个老师的课题组非常大、又有很多学术兼职。他根本没有时间来一对一地对学生的科研进行指导，也根本没空和学生进行定期的跟进。所以他对我的评价只能是唯结果论，但我又没能做出一个非常好的结果。和这种大佬打交道压力会很大，尤其是他特别忙，和他沟通、约时间会很麻烦。现在的感觉是，一定和这种类型的老师打交道的话，如果不是他的博士生或者想成为他的博士生，非常建议等到自身能力足够强大、对他有足够价值以后，不然很有可能会是比较痛苦的。（做个总结：菜是原罪。）
但即使是从我为数不多的经验来看，也并非所有大佬都是如此（虽然大佬们都是非常忙的），只是不同人的风格不同。 后面会提到的侯一钊老师，他们就愿意非常和一个素不相识的学生敞开心扉交谈，毫无保留地提供建议。
两份科研经历的浅析
通过上面两段科研经历，我也对科研的选题和导师的选择有了一些认识和了解（仅适用于应用领域，纯数学和纯物理完全不适用）。
如何让自己在科研的过程中更有动力？
关于科研的选题：
选题要慎之又慎。一份科研能否有好的成果，70%依赖选题，剩下的才是天赋与努力。关于选题需要注意的也有很多，但
首要必然是兴趣 ，科研过程中必定将遇到数不胜数的难关，背着不感兴趣的包袱翻越崇山峻岭注定是极度痛苦的。兴趣的影响因素有许多，目前个人感觉最主要的因素是“风格”。每个课题都会有自己的研究方法和认可标准，它就是“风格”，这种“风格”基本上在一个领域内会有着比较好的一致性。而不同领域间的“风格”迥异。 个人的优势与偏好是否与这种“风格”贴合，目前看来是能否对课题有兴趣的关键。 例如，计算数学里就有三拨人，一波人在设计算法（其实也分好几层，最深刻的那层非常数学，需要用到PDE分析等手段，和纯数学仅一线之隔）、一波人在根据算法写代码和优化代码（实际上就是我第一个导师在做的事情），另外一拨人在拿代码去做实际问题的计算（非常工程），这三拨人的做的科研的“风格”就非常不一样。关于如何判定“风格”是否贴切，只能建议多做尝试。目前考虑的标准是：先尝试（以月为单位），从读文章开始，如果觉得可能有兴趣就尝试稍微做点东西。如果在尝试的过程中一直毫无感觉（没有在某些时候感到很快乐和兴奋），不太有动力，那很建议换方向（因为在遇到真正的困难的时候，是需要动力才能逾越的）——犹豫就会败北，什么东西能在你足够了解，真正了解全部利害后，还很愿意去选择，那才是真爱。选题还有一个需要考虑的因素是和课题组大方向的贴切程度。 在不是非常有把握的情况下（如果之前已经在打算开辟的方向里有过相当的积累并且有connection可以另说），尽量不要试图在课题组里新开辟一个方向，尤其是从事第一份科研的时候，一定要尽量把选题往课题组的大方向上靠，只有这样才能够在科研过程中得到足够的帮助，导师才能对你进行有效的指导。有些时候和不同领域的人合作，结合双方长处可能会有难以想象的创造。一个人闭门造车，孤立无援的痛苦，希望大家都不要去感受。
关于题目的难易。 一般来说，导师是不敢给博士生非常难的题目的，因为会担心博士生毕不了业。但是这件事情也是会需要权衡的，风险越大收益也会越大。
关于导师、课题组、学校的选择：
关注老师对学生的态度。 一定要找那些愿意真心实意帮助学生，真的能够给学生提供有效的指导，愿意和学生平等相处的老师。如果导师不满足上述三条中的任意一条，博士生涯都可能会极其痛苦，建议放弃。导师掌握了学生是否能毕业，可以说是握住了学生“咽喉”。尤其强调，一定不要盲目追寻导师的实力。如果导师能满足上面三条，实力自然越强越好；但如果不满足，并不建议考虑。例如，有些非常厉害的牛导会非常忙，会没有时间来一对一有效地对学生的科研进行指导。跟着这种类型的老师读研究生，除非他非常看重你，否则很有可能就是被甩给课题组下的其他老师，很少能有机会得到他的一对一指导，基本上就是挂个名。和这种老师打交道会比较锻炼心理承受能力，因为他非常忙并且还非常厉害，和他交流会比较困难。如果一定要跟着这类导师读博士，建议先做过足够充分的调研。另外有些厉害的老师，年纪大了，可能在学术圈也就不太活跃了，也有可能不太能给予学生有效的指导。
课题组的选择，目前来看，一般不用太纠结，如果导师合适，一般来说应该都能适应。 但如果课题组氛围比较好，会非常有效地促进沟通。另外，也需要关注课题组之后学生的去向（学术界还是工业界？混得怎么样？），这也很关键。博士期间，一定要积极和老师、师兄师姐们沟通并寻求帮助，积极和同行交流，学会提问，积极请教，如此可以少走很多弯路。
关于学校的选择，学校能够提供对科研的帮助一般来说是通过举办研讨会（seminars）、以及提供学科交叉和合作的平台。 而学校排名对科研体验的影响其实不会太大。不同的学校非常不一样，具体问题具体分析。相比导师和选题，它不是主导项。
如何让博士阶段科研的结果更有可能成功？
关于选题，一定还有很多其他需要考量的因素，尤其是如何判定选择的题目真的很有可能最后能做出东西，什么样的问题是好的科学问题。 这件事和从事该问题研究人数的多少并没有直接关系，有时候一个领域做的人多了，不一定是好事。现在能想到的方法就是通过文献调研、阅读经典书籍。通过这些调研可以了解到：问题是不是很重要？是不是有很多大佬都在关注？多少人曾经用过哪些方法做过？核心的困难是什么？你的贡献是什么？ 读科学史可能也有帮助。有些时候对具体的问题光靠自己可能不能了解和认识，这可能就会导致很难成功地把问题搞定，这个时候需要多向专业人士请教。但显然在科研上我还没有能够深入到这种程度，还能够没有仔细和系统的了解和分析这些问题，未来有了足够的了解之后再说吧。
诚如之前所言，大多数情况下，科研结果的好坏，选题占70%，剩下的才是个人努力以及天赋、课题组的氛围等等。所以选题一定是最关键的。当然导师能够指导选题，课题组氛围也能影响个人的努力，相互合作才能共赢。有些时候课题组内合作，互相结合长处可能会有难以想象的创造。
个人的学习能力在科研中也是重要的。 根据我的观察，老师们普遍反映，
招收学生的时候主要考虑两点：兴趣以及基本素质。 兴趣很大程度上决定了“选题”是否合适；兴趣和基本素质一起决定了“个人的天赋及努力”。基本素质体现在科研里主要就是“做事利不利索”，效率高不高。不过需要指出，科研中需要的学习能力和本科在课程中取得好成绩的能力完全是两码事。科研中的学习能力关键是会不会用学过的知识，会不会思考问题，会不会对问题做分析、解决问题，这才是本质。 老师只能起到点拨作用，不能代替你学习。要积极主动，保持好奇，不断提出问题，积极主动去思考，积极主动去找别人讨论。关于如何从科研的视角来开展学习，使得学过的知识尽可能都能在科研中发挥作用，真正转化为实际的生产力，将在“面向科研的学习方法总论”板块详细讨论。进组之后，要认真思考如何成为老师心尖上的人，这样才能获取最大的帮助。 不过要想成为这样的人，显然你就得有自己的独到之处了。
做科研的时候遇到困难，产生消极、沮丧的情绪是非常正常的，自己要学会克服； 在面对未知的时候，很容易会产生恐惧和担忧，但作为研究生，必须勇敢。要努力保持阳光积极的心态。遇到了挫折，被打击自信心，最好的恢复办法就是战胜它。另外，保持良好的身体素质也非常重要。
从事应用领域需要学会合作。 只靠一两个计算数学的人想要做很好的应用是比较难的，需要和其他学科的人一起组团和合作，因为从算法到实际应用有很长的一条路。能否合作起来的挑战主要有三点：1.如何去认识相关的团队；2.一般合作是通过学生交互形成的，但这需要双方都主动抽出时间投入，否则也很难有很好的合作；3.国内的合作一般都通过学生，导师之间很少有很长期的合作，似乎是因为某些限制。
强调动手能力，学习不能只是“学”，有输入一定要有输出。 读了文章要积极动手尝试和验证，自己做一些分析，然后再和导师讨论。
做科研的时候，一定要对做的每一件事情非常清楚。尤其是使用工具的时候，一定要知道工具的各种特性、具体含义。 时间有限的情况下，确实也要学会使用相关的工具。但是一定不能浮于表面。一般来说，都是具体实现工具之后才会有深刻了解，否则认识和了解不深入，会留下定时炸弹。
时刻记录想法，定期整理与总结。 科学有些时候是需要一种联系，需要你对于一些数据精准的、快速的反应。
博士阶段由于缺乏积累，一般还是以解决问题为主。到了博士毕业的时候，博士生应当已经有一定的积累，比较好的博士生在毕业的时候已经能找一些问题来做， 这就是发现好问题、提出好问题的能力。
导师、学校对博士之后的影响？
关注导师的Connection。 许多非常厉害的大组之间会有博士后的交换。博士和博士后导师非常关键，因为大组常常是抱团，建立联系的。导师影响力强，之后找工作，做博后就会很方便。不过得具体问题具体分析。
学校排名的高低有可能会对就业有影响，对找教职的影响相对较小。找教职主要看博士期间的成果以及导师。
实际上博士毕业后能如何主要还是靠自己，最重要的是找准自己的定位。 大家现在觉得工作难找。但是招聘人员的反映却是人才少，找不着。需要去思考怎样才能成为他们眼中的人才。
不要贪多，你只需要拥有一定的基本素质，剩下的就是用你的某点优势彻底打动对方。 但如何建立优势呢？这就回到了明确自己定位的问题上了。这不是一个容易的问题。一般科研上最具有创造力的年龄大约是博士毕业后十年以内。 这个时候，知识积累到了一定程度，并且也是精力、体力、创造力的巅峰，最有希望做出成果。而这个时候也是要找工作的时候。
应用数学中的一些现状
这里叙述一些了解到的一些概览。
PDE分析和计算数学是被分到数学里的，做计算数学的人很多也会做一些PDE分析的研究，这是学术价值观使然。 如果只做计算在数学里面似乎并不太受认可。
计算数学的最底层会需要用到比较深刻的PDE分析知识（算子理论、逼近论）。 但也有在做纯PDE分析的，这就和基础数学基本没有任何区别了，PDE分析里最著名的问题就是纳维斯托克斯方程能否产生湍流这个千禧年难题。
计算数学最底层基本还是在研究一些非常基本的问题，例如数值格式、泊松方程，做的东西比较一般化。做最底层的这些人一般不会关心实际的应用，他们写的程序一般也比较短。这个方向是比较传统的偏微分方程数值解，它是一个比较枯燥和严肃的学科方向，研究很难跟上热点。
计算数学主要上面说的传统的偏微分方程数值解，不过也有一些新兴的方向，如随机矩阵分析、随机算法、统计计算，这些在工程中也有重要应用；计算数学的方法也有应用在其他数学分支，例如代数与几何，能辅助证明。但目前来说，计算机辅助证明的想法还有些不太为学术界所接受。因为理论的意义不仅在于给提供人们方法，也在于增进人们对一个问题的理解。计算数学的一些比较古老的方向，例如线性方程的快速算法，也有人在做。
计算数学需要分析功底。 但其实在计算数学里，理论的程度也是可以选的。你可以选择直接使用别人推导出来的分析结果，因此总是可以选择停留在某一层，在那一层做得非常优秀。有些时候需要放心大胆使用别人推导出来的结果，不必有太深的执念。在这种意义上其实计算数学和计算机科学也有些像，也追求实用，但计算数学更加底层一些，它们的结果是定量的。但是如果选择比较高的层次，一定要努力去和实际靠拢，研究一些具有实际背景的问题，否则容易不上不下，建立不起优势。
计算力学类似于是数学和工程之间的桥梁，似乎做数学的人和工程的人直接合作会有困难，计算数学里大部分人都只关注数值算法，不会关心具体的问题。 因此需要有一个缓冲区。做计算力学的人可能会针对具体的场景开发算法，这种事有些做计算数学的人也会做，但比较少。但是数学这边的人大部分还是从数值方法的角度来做相应的研究。对他们说做应用会花费很多的精力，很不容易，所以大多数人的时间精力还是在数值分析上。不同学科的思维角度不一样，计算力学的优势可能就是能够灵活运用数学和工程的角度来思考问题。如果想要解决具体问题，计算方法和技术可能需要基于实践的经验。 但是就我观察来看，计算力学这边大部分研究者对于数学和计算机的积累还是相当有限，优势可能还是主要集中在工程经验上。但是当知识的积累比较丰富以后，确实可能能做到别人不能做的事情。
计算力学这一层主要就开始关心很多实际问题：湍流机理、固体材料计算、流固耦合、爆炸爆轰、非牛顿流体、核武器、高分子材料。
计算机科学这里主要指的是，有一部分人在根据上层的算法做一些计算平台开发、写代码和优化代码相关的工作，为底层工程应用提供工具。 有很多本科学计算机的人会从事相关的工作，软件所那边似乎这类人会多一些。
最上层就是工程师了，他们就是使用各种工具做最具体的问题，工学院里有许多这样的老师。但我应该是不适合这种风格的。
虽然应用数学属于“上层建筑”，但是应用数学里的问题全都是实际的工程和科学问题。是它们推动了应用数学的发展。所以即使对数学的人来说，了解实际问题的物理背景也是极其重要的，否则很难做好应用。
最近兴起的还有数据科学。在数学里，它的地位和计算数学类似，主要包含机器学习理论。 但在计算机科学那边也有很多人在做数据科学相关的研究，近年来最火的就是神经网络了。计算机科学里有数学很厉害的人，但大部分是实用主义至上，追求效率。相比之下，数学的人更关心算法的收敛性，会关心收敛性的机器学习、深度学习背后的数学规律。
申请
申请是什么？
现在想来，
然而，学会展示自己其实并不是一件平凡的事情，它和拥有好的申请材料，完全是两件独立的并且同等重要的工作。 （就像在科研里，有个好想法，写篇好文章和给个好报告是三项独立的而且同等重要的工作一样。）
想要最好地展示自己，需要明确自己的定位。 即：你的特点是什么？你的优势是什么？
- 你为什么要申请这个领域的博士学位？你为什么打算在这个领域做科研？你的动机是什么？你真的对它很感兴趣吗？你为什么不试试别的？
- 博士在你的人生中占据什么样的地位？你有想过读完博士后想做什么吗？你的终极目标是什么？博士能为你实现这个目标贡献什么？
- 你的基本素质怎么样？你是否有信心完成博士的学业？你真的做好读博的准备了吗？你做过哪些准备，你打算做哪些准备？你对你要申请的领域有多少了解？
- 你是什么样的人？你想成为什么样的人？你的风格是什么？你的风格和你申请的项目的研究风格、学校的风格有什么关系，是否匹配？你是否有特别匹配的老师？
- 优势针对期望。招生官究竟想招什么样的学生？你申请领域的博士研究生究竟需要什么样的潜质？其中哪些潜质可以被有说服力地展示出来？
- 你有什么样的特质值得被展示？你有实际的证据能够证明这些特质吗？你想展示的这些特质，是否真的能够在未来的科研中转化为实际的生产力，进而打动招生官？
事实上，从招生官的视角来看，他们青睐的是那种有动力、有目标有方向（才有可能利用好资源）、有能力实现目标的人。而上述的这些问题，其实和招生官的视角是不谋而合的：问题1、2回答了有动力；问题3，4回答了有目标有方向；问题5，6则回答了有能力。
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对这些问题的思考，构成了我整个申请季的主旋律。而对于这些问题的初步解答，也就成为了我的申请材料的各个部分。
不过话说回来，思考这些问题的意义是什么呢？我觉得也不仅仅是为了取得一个好的申请结果。其实，对于这些问题的思考，最核心的其实是为了帮助我们明确自己的定位。我们得知道，我们是哪种人，不是哪种人；我们适合什么，不适合什么；我们该做什么事，不该做什么事。这有助于选择未来的方向并制定长期的目标。并且，对于动机的思考，会让我们未来在遇到困难时更有动力坚持。 读博士是非常辛苦的，以我们的智力和资质，这个世界有的是比科研赚钱且轻松的工作。你如何在未来遇到挫折的时候说服自己继续坚持呢？
实际上，在夏令营的时候，我还在犹豫是否要报名。明明早就已经决定出国了，但在放弃的时候还会有很多纠结。半年过去，我才渐渐明白，其实那时的我还是没有下定决心。如果没有把一切利害关系想清楚，然后郑重其事地做个决定，其实永远都会有这样的纠结，以后可能也会后悔。
申请并不是一件轻松的事情（至少对我来说），多亏了BeBeyond和各位小伙伴一路上的帮助和鼓励，我在申请季前后也发生了很大变化。我深刻地感受到：做出改变，需要有相对包容的环境。这里的“改变”，范围很广，包括：思想观念、心态、行动力等等。
申请季的另外一个很大的收获就是，文书写作和表达能力的进步。 主要是两点：现在给老师和教授发信息的时候会更加注意对方的态度；在表达做过的事情的时候，越来越清晰具体，也逐渐知道通过什么办法能把问题说清楚（会在课程学习模块里阐述）。
博士申请中publication非常重要吗？
坦诚地说，我现在还不太能回答这个问题，因为我也不知道我最后的申请结果能如何，反正我是没有publication的。事实上，因为这个，我现在也挺担心最后的申请结果的。
目前从出国申请的情况来看，在顶尖项目的申请中，基本上大家都有publication，许多人从大二甚至大一下就开始进组做科研，最后取得了很好的科研成果。而且，和我们竞争还有很多美本，他们也是早早就进了实验室，还占据地利、人和，有很高的GPA和很好的connection，同等实力，我们和他们相比有相当的劣势。和他们相比，不得不承认，我的科研经历相当匮乏，只能通过其他的条件来间接证明科研潜质。虽说publication并不能一锤定音，但是在大家都有publication来直接证明自己科研能力的时代，没有就会是一种巨大的劣势。 从目前的面试情况来看，我感觉我很有可能会因为这个因素吃大亏。
不得不承认，近来真的越来越卷了，越来越焦躁。十几年前出国的时候，大家基本上还是都没有publication的。与我交流的几位老师普遍也和我反映：现在的本研有一点点脱离本研的初衷——多了解一些东西。但目前的现实情况就是如此，不追随大潮流很有可能就会被淘汰。
我一直都是规划，本科发展通识教育，把基础打得广并且具有一定深度，多去了解一些东西。这才让我变成了现在的我。不过我也算运气好，这些其实也形成了我申请中的最大的一个优势——我的多学科背景特别适合去从事那些具有流体力学背景的应用数学和交叉学科。可能在大家都特别卷的时候做一些差异化竞争也会有一些优势？ 从套瓷的情况来看，我可能会特别受那些老师青睐。现在就寄希望于那些老师愿意捞我，祈祷吧。
最后回头感叹一下，如果想要拿到顶尖项目的offer，大学里的容错性真的是越来越小了。 想要在本科生科研中取得好的结果，一般来说，需要比较“好”的选题、比较好的指导以及相当的时间投入。本科到申请季之前，其实一共只有三年，对大多数人来说，希冀本研出成果，势必会牺牲大量课内的学习时间和课外向更广的空间去探索的时间，这些在一定程度上都是矛盾的，所以事实上是短期利益和长期利益的博弈。 就我的经验来看，我做不到同时兼顾这些事情。如果没有一个宽容、允许犯错的环境，鼓励大家去试错其实没有什么意义。
不过仔细想想，本科之后又何尝不是这样呢？
今天和哥大的一个老师聊了聊，他说我的申请材料very strong，他相信我会有很多好的offer，甚至还问我有多大可能性来，有点受宠若惊 
。
再来说一下现在的情况，目前套瓷有联系的有：caltech、brown、harvard、columbia。但是caltech因为项目不匹配，已经被拒了
。
考虑到跨专业申请应用数学以及应用数学的申请基本都是强委员会制度，能有这么多联系上的老师已经远超预期了
，希望剩下的能有好结果吧！
Brown给我发offer啦！总算不用失学了哈哈。
另外Caltech的老师又回心转意了，给我发了面试邀请，感激涕零！。
但现在就只有Caltech的面试邀请，还是有点虚。。不过已经无所谓了哈哈。
现在的优先级：Caltech > Brown = Harvard，其他学校就不考虑了。
。
收了MIT的CSE博士，被Caltech、Harvard、Princeton的Applied Math拒了。顶校的offer还是得多做点科研。我的专业背景宽但不深，他们估计还是不太喜欢。
最后决定去MIT了。
课程学习
这个学期我在信科选修了《计算机系统导论》，在数学系选修了《实变函数》、《偏微分方程》、《并行与分布式计算基础》，在力学系选修了《流体力学实验》，以及《太极拳》。
最大的感受是：如果想学，就一定要学最好的课、使用最好的教材。 听专业的人讲课极其有必要。不是最厉害、最专业的人，根本就讲不清楚其中深刻的思想和机理，无法很好地做延伸和拓展，无法为以后的学习提供进一步的帮助。花了同等的时间，收获却大打折扣。
并且，我也意识到：学习不同方向的核心课程是非常有利于捕捉那个方向的“风格”的。见识多了，大概也就知道自己该往哪个方向走了。 学习，其实就是一种自我发现的过程。
计算机系统导论（ICS）
ICS是一门从试图程序员的视角学习计算机系统的一门课程 ，虽然动机是如此，但是在学习计算机系统内的一些概念的时候，可能还是不可避免地采用计算机制造者的视角。计算机系统其实是一个相当问题导向的学科，计算机系统里面的大部分概念和机制，一般而言都是在处理某些情况的时候遇到了一些问题而引入的。如果不清楚在制造一个计算机的时候可能会遇到哪些问题，很难真正理解计算机里的一些概念和具体机制（其实就是解决相应问题的方法）。如果无法理解这些概念和机制，它们很容易就会随着时间的流逝而被遗忘。这门课程所谓的程序员视角，其实真正的含义应该是：在了解计算机系统里的概念与机制之后，如何利用这些概念和机制写出更为高效、bug更少的程序。
上完这门课程之后，我深刻地感受到，好的授课老师（领路人）、好的课后消化机制、好的作业题 能够多么有效地促进一门课程学习。
好的授课老师，在讲述一件事情的时候能够直指核心关键点，也能够用很形象的、容易理解的方式对之进行解释。 这是帮助学生理解的关键。其实在上课的时候，根据我的经验，正常学生，即便全神贯注，对于像计算机那样的知识密集灌输类课程，能够抓住60%～70%的信息就已经是非常高效了。 而且计算机的学科性质决定了它必然有大量的需要考虑的细节。所以，对于相同的知识量，上课的目的应该是把它简化，花足够的时间抽离出并讲清楚最核心的关键思想，剩下的让学生去自学。 个人觉得这是最好的做法。
好的课后消化机制，是指这门课程的小班课。小班课的上课老师一般是大三或者大四的学长，他们当助教的时候，本科的课程基本已经学得七七八八，所以能从比较高的视角来看待ICS的学习；并且，助教本人也是ICS的亲身经历者，他会知道哪些地方比较难理解，小班课上会细讲。小班课主要要求同学来回顾课上的内容。 对于知识密集型课程来说，这确实是一种极好的复习和消化的机制；与此同时，这也可以锻炼同学们的演讲能力，让同学们去思考，怎么讲才能把一件事情真的讲清楚、讲明白；另外小班课也是很好的交流平台。另外，在小班课上，学生可以向助教寻求帮助，无论是关于ICS课程，还是关于未来的发展规划，这真是不可多得的好机会。 其实我觉得很多课程都可以应用这样的机制，但可能就是需要院系支持，也会消耗很多资源。
好的复习题，指lab和期中期末试题中一些考察理解的试题。同课程配套的lab使得同学们能亲自动手实践运用课程中的知识，同时培养对计算机系统兴趣。另外，ICS把期中期末考试开源是一个非常好的做法，不少助教因为学过更高深的课程，喜欢在考试里从更高的视角给大家出题，所以做期中期末试题还是能学到许多东西的。
但是ICS在考试里考察一些奇技淫巧和考课本上的名词默写和细节是我不能苟同的，完全就是为了区分而区分，被区分出来的也只是背书、刷题小能手。这些考察的内容对以后完全没有任何帮助。私以为对于这门课程，考察各种概念引入的原因，考察同学们在遇到新问题时，如何照猫画虎地运用学过的知识引入新的机制或新的办法解决问题，默写或者考察各种机制的工作原理才是对以后最有用的方式。
实变函数、偏微分方程
学习数学最直观的感受是——数学家的智慧令人高山仰止。 数学天赋非常好的人，他们的数学直觉特别厉害：我通过努力思考还办不到的事情，他们靠直觉就行。感觉这就不是靠努力就能解决的问题了。
但这并不妨碍我依旧喜欢数学这种思维模式，只是之后根据具体情况，调整数学在研究中的占比。
数学系讲数学强调思想、方法、动机，这才是最能激发数学的学习兴趣，对于数学学习是最重要的 ，否则很容易沦落为死记硬背。另外，这个学期的数学学习经历也告诉我：一定要带着直观和例子去学数学。边学边思考，整理各个概念和定理之间的关系，最后形成一个框架，否则很容易遗忘。数学中的概念一定是为定理或者其他重要的概念服务的。不会无缘无故创造一个概念。学习数学，一定要多问为什么，一定要去做题，多应用，才能建立比较好的理解。
另外需要指出，像数学这种逻辑性极强的学科，个人感觉建议采用板书教学效果更佳，给学生以缓冲的时间，采用ppt容易导致不连贯，学生容易跟不上思路。
流体力学实验
实验流体力学期望通过现象的理解来看待流体力学。这门课程让我意识到了理论和计算的局限。很多前沿的研究，根本没有理论，理论也都得从实验中来。 例如，对于超高音速流动(Ma>15)，人类之前还从未到达过，一切几乎都是未知；对于很多流体，例如稀薄气体，NS方程不适用，本构方程都不清楚，理论和计算根本无从谈起，一切还都得从实验中来。对流体力学的深刻理解，必须要在结合实际物理现象的基础之上。实验科学也有其特有的风格，有其独特的研究方法和特有的魅力。
摘录李老师的几句金句做结吧：
- 中国流体力学和世界的差距在于概念，能不能提出新的概念。
- 一招鲜吃遍天。知识什么都会没有用，创造知识才是最重要的。
- 创造知识是非常不易的。拿到手的第一件事做成功，是非常重要的。
- 找一本书念200遍。第一遍基本上云里雾里，第三遍看三个月，第二遍看一个月。
- 要从已知的地方开始一步一步做科学研究，面对问题去学知识。有时候解决问题也需要倒着来，先凭借直觉猜出个结果，然后目标牵引。
- 持之以恒地做一件事，把它做好。专注于做一件事，否则一事无成。走自己的路，不要被别人所扰。
面向科研的学习方法总论（初步）
在这里，主要探讨如何让学习在科研中发挥出可能的最大生产力，让学到的知识能最大可能地被应用到研究中，并且提升学习的效率。 囿于见识粗浅，这里仅提出大致的想法，日后还会不断完善；并且，因为很多事情在实际工作中是没办法做到的，所以这里只是我的理想愿景。
在叙述之前，必须指出科研显然不只是学习那么简单，还与个人的创造、对问题的洞察力（看到问题本质，化繁就简，进而提出优化的想法。获取这种能力的可能方式：常常思考问题的本质是什么，罗列问题的影响因素，思考哪个影响因素占据主导作用）等等有着千丝万缕的联系。
就目前的感受来看，科研是一个非常讲求理解的事情，理解一个概念、方法的核心思想和细节。如果想要提出新的方法，必须对原有的方法有深刻的了解，需要去理解前人为什么这么思考问题，为什么这么做，为什么这么建立理论。科研对于细节的要求主要体现在自己的工作上，很少要求对其他人的工作清晰地知道每一处细节（数学证明除外）。并且，科研对知识面也有一定要求，需要及时跟进同行的研究。
知识的分级
在这样的前提下，对于单个知识点的学习，我们大致可以把学习的理解深度分为以下六个层级（并不特别准确，但为了之后的论述，需要一个相对的标准）：
了解
知道知识大概在做一件什么事情。（就是在逻辑的层面上，大概了解知识在做一件什么事。）
学会
看明白知识的来龙去脉。（就是在逻辑的层面上，把知识看懂一遍。）
会用
能够把学到的知识作为工具，直接使用到科研中。（到了这个层级，一般来说就能够把学到的知识讲给听众听了，检验的方法是，请自己有逻辑地复述一遍学到的知识。）
理解
真正理解知识背后的思想，了解知识在知识网中的地位，知道它和其他知识点的关系，并且能受这种想法启发，改进目前的科研。（到了这个层级，一般来说就能够把学到的知识比较精炼地讲给听众听了，一般来说能让大多数受众听懂。）
发展
真正领会知识背后想法的优点、局限性，清楚地知道知识在知识网中的地位，清楚地知识网中这个知识与其他知识的联系。了解这个想法是在什么样的背景下启发得出的，考虑是否能把这个想法进行推广、完善，并且应用到科研中。（到了这个层级，一般来说就能非常好地把学到的知识比较精炼地讲给听众听了，能够讲清楚、讲透，通常能够受到好评。）
精通
对一个知识，可能可以从不同角度看待。它也可能会与其他知识串联，是知识网的一部分。“精通”要求能够从不同视角看待一个知识，并且非常清晰它在知识网络中的地位，与其他知识点的联系，非常清晰知识背后的想法，及其优点、局限，并非常了解这种想法在领域内的其他推广和应用。（融会贯通，在更高的认知维度上理解了目前的知识。）
在科研中，确实需要很多“了解”层级的知识，用于扩展知识面，把握研究动态。 但是，对于任何知识的学习，如果理解只是到达“学会”层级，上不达、低不就，那对于科研是没有任何用处的。学了等于白学，浪费时间。
所以在科研中的学习，要么就大概看懂一个知识在做什么，评判它对自己的价值，考虑放弃或者直接掌握到“会用”的程度（如果是课程的学习，至少应掌握到“理解”层级，因为课程是学习大量有关联的知识。）。
与此同时，显然不能要求研究者把所有知识都掌握到“精通”层级，这势必会消耗极大的精力，降低效率。而且对于绝大多数知识而言，确实科研上直接用到的概率很小。但是，对于许多相关的文章来说，掌握到“理解”、“发展”层级仍然是有必要的。
每种知识具体应该掌握到什么层次，需要具体情况具体分析。
不同层级知识的学习方法
下面叙述把理解提升到上述层级的方法：
了解
对于这种层次的知识学习，不再赘述其学习方法。这里需要补充的是，CSDIY上有一篇非常详细的文档，对知识的获取收集做了详细的总结。
学会
对于这种层次的知识学习，不再赘述其学习方法。
会用
亲自动手推导一遍知识，或者把知识有逻辑地给自己听。
理解
自我提问，并自我回答。问问自己这个知识是怎么来的，它和其他知识的关联是什么。或者也可以找一些习题（如果真的存在）来帮助巩固。但需要注意，习题只是手段，不是目的，目的应该是理解知识，理解思想。多思考是很重要的，教学其实也就是养成思考问题、回答问题的习惯。
发展
一般来说得学两遍。第一遍学达到理解层级，在第二遍学习的时候，通过整理整个知识网络，在该知识上大量建立来自其他知识的链接，从而增进知识的理解。
精通
想要掌握水平到达这个程度，一般来说应该需要学好几遍，每遍学习都会在该知识上建立来自其他知识的新的链接，从而对该知识印象更加深刻。
提升学习知识的效率
科研的时间是比较有限的，需要追求一定的学习效率。下面叙述一些可能的提升学习效率的方法。
提升学习效率的方法，主要从学习的过程及其组成要素入手。目前能想到的学习过程中的关键因素有：学习材料、名师指点、输入输出、归纳总结。
学习材料是学习的重中之重，一份清晰易懂、简明扼要、思想深刻的学习材料能够让学习的过程事半功倍。 因此，在学习前花费时间去寻找和搜索一份高质量的学习材料，是绝对值得的。除了Google和百度，很多关于学习路线的网站能够也帮助我们获得好的学习资料：
名师指点也是学习中关键的一环。 如果只是阅读学习材料，是会有“局部性”的。书本为了严谨叙述一个概念，往往需要大量的细节或者描述性的话语去维护这种“严谨性”，需要的篇幅会非常长，在这么长的篇幅之中，如果学习者不能很好地提炼出中心思想、不同知识点的逻辑关系，将其简化，学习速度可能会很低。教学水平高的老师，他们上课富有激情，课堂生动而有活力。他们能够在上课的时候就叙述清楚知识框架（不同知识之间的链接，有时不止一次）和每个知识背后的灵感和解决问题的方法，让我们可以获得知识点的概览。这样的老师会把重要的东西反复强调，让你印象更加深刻。做得最突出的老师，甚至在课程的最开始会预告大家这堂课会做些什么；在课程讲到那块内容的时候，又会做一个印证；而一堂课快要结束的时候，还会带着大家回顾一遍这堂课的整个历程。有些时候他们还会为未来的学习提供指导，将所学的知识向实际应用、其他学过的知识点和其他有趣的现象扩展。这会让我们再去阅读学习材料的时候，阅读的压力已经大大降低——我们已经知道了思想，只需要慢慢理清楚每一个细节，从而事半功倍。 与此同时，这样的课堂是非常能激发学习兴趣的。一方面，因为教员就是这个领域的研究者，因此，他们往往能将整个课程的逻辑和安排看得更加清楚、更加透彻，因此他们选择的讲课方式自然也更有条理，更容易被学生接受；另一方面，教员们上课分享的例子，上课提出的问题，很有可能也就是激发他们研究兴趣的地方、他们所好奇的地方，这些例子和问题能激发他们的研究兴趣，自然往往也能激发学生的学习兴趣。就我个人而言，如果能够找到这样的老师或者这样的网课视频，我会倾向于先听课后看书。
学习一定不能只有输入，只有输入的学习最多只能停留在“学会”层次，对科研来说是没有任何意义的。 学习需要同时有输入输出，正如孔子所言“学而不思则罔”。对于课程而言，许多课程拥有配套的习题，对于计算机类课程，则有相应配套的lab。但是，在科研里的学习，其实大多数情况下没有相应的配套的巩固练习。这个时候，就需要我们自己给自己出题，积极提出问题，并且努力自己解答；积极与同行的人讨论，借此评估自己的理解是否存在偏颇。 其实，已经有很多人注意到了来自这方面的需求，并且已经开发了相应的学习软件（请自行百度、Google）。我们可以借助这些软件来简化这些步骤，从而提高学习效率。
归纳总结，串联知识点在学习的过程中也是相当重要的。我们的记忆其实是一种直觉，它承载的“长度”是有限的；并且，当你在一个东西上建立的链接越多的时候，记忆地也会越深刻。归纳总结的过程，其实就是剔除冗余、留下精华、方便记忆，并且在复习归纳的过程中，我们试图建立知识点之间的链接，从而让记忆和理解更加深刻。
当然，还有最耳熟能详的——学习的时候请专心投入，提升做每件事情的效率。
另外，还要提一嘴的就是——关于基本知识与能力的学习。有些知识与能力是其他知识的前置知识与前置能力，它们会与之后成片的知识有着千丝万缕的联系，这里我们把它们称之为基本知识与能力。对于这种知识与能力，因为它们是通用的，会在以后被反复用到，所以请一定不要吝啬，在学习这类知识、培养这类能力投入的时间。尽可能地提升它们的深度，一定是值得的。
管理知识体系的方法
对科研人员来说，如何管理自己的知识体系也是非常重要的。如何科学有效地管理一个庞大数据库，需要查找时能够尽可能尽可能快地索引到相应位置，遇到一个概念时立刻映射出众多其他相关的概念，是一个值得思考与探究的问题。 对做应用的人来说，这就更加重要了。因为从事应用研究的研究者会更容易学到很多东西，因此也更容易遗忘、也更难以在知识架构内索引。
对于这个问题，目前我的想法还不成熟，还需要以后不断完善。目前的三点想法是：
首先，学完一件东西之后，务必留下与一些关键词，这是大脑进行索引的基础。 并且，学习的时候就应当注重思想，记忆思想是要记忆冗长的知识点容易得多，也更难遗忘，利用思想来寻找同类项，可能是个好办法。然而，不得不承认，很多时候我们可能连思想都记忆不住。退而求其次，无论如何一定要记住一些关键词，我们可以把记忆思想转化为记录思想，记录在使用过的学习材料上。以后要用到的时候，使用这些关键词进行跳转。
其二，学习的时候重视框架也很重要，应当了解一个知识点和与其他知识的链接，以及一个知识点的核心关键点。 但是，把这些全部记录在大脑里有些不太现实，人脑的记忆量毕竟有限。所以，请好好使用你使用过的学习材料，把这些东西记录在学习材料上。当大脑索引到相关的知识点的时候，可以直接跳转到之前使用过的学习资料，快速回忆起这些链接。
其三，合理地管理使用过的学习资料。 坦白地说，对于这一点我目前做得也不是很好，还有待探究更好的做法。目前的做法是：是把资料分门别类地整理在电脑里，利用文件层级进行索引。但是因为我太容易忘东西了，已经多次遇到索引困难的问题。而且这种办法对于论文的整理来说也有一些挑战：如何科学合理地管理论文，给论文分门别类，并且能够在以后做到快速索引，我还没有非常好的主意。
老师们的一些经验
这半年来我与很多老师交流过。他们与我素昧平生，却愿意花费他们最宝贵的时间，把多年来的经验心得无条件地分享给一个素不相识的学生。
这里介绍两个半年来给我留下印象最深的两位老师。
第一位老师
第一位老师是邵嗣宏老师，他对于研究动机的垂涎、对所参与研究纯粹的执着与热爱以及扎实的学术功底，给我留下了极为深刻的印象。 介绍主要用访谈的形式给出：
1.邵老师，您的主页上显示您主要做一些智能和量子的研究，想问一下智能和量子是怎么联系起来的？
关于量子和智能的关系，你应该去看看Roger Penrose写的那本《皇帝的新脑》，里面有一段话——之所以现在人类没有办法理解一个生物大脑的工作，其根本的原因在于，在量子世界和经典世界之间有一个missing gap，这个missing gap的存在会导致人类没有办法理解大脑的工作机理。这句话的核心观点就是，人脑中的碳氢氧氮离子和真实世界中的碳氢氧氮离子一样，服从量子力学规律，有量子力学行为。问题的关键就在于，这种量子力学行为是否对人脑思考有帮助。
这个事情，从上世纪60年代开始就形成了一个学说，叫Quantum Brain。Roger Penrose还成立了一个量子意识实验室，其终极目的就是在生物体的大脑中找到实验证据支持量子力学在大脑起很重要作用。然而这个学说其实一直是有争论的。例如很多做工程的科学家就会认为大脑可以被模仿。我个人并不认同这个观点。如果大脑中有量子力学行为，那么这些做工程的人的观点就相当于量子力学行为可以被模仿，这是会出问题的。
刚刚我们说的这些内容中，经典物理和量子力学中间的missing gap，其实就是我们正在尝试做的科学问题。
2.邵老师，所以您觉得，大脑不能被模仿其实很大程度上是因为大脑中有量子力学机制，是吗？
这目前还是一个学说。基本上所有主流的神经科学家，都不会沿着这条路径做，原因是因为实验数据不成熟，量子对象难以测量。我自己这么多年一直是用Wigner函数的方法在做研究。Wigner函数方法，是目前唯一知道的，可以被实验观测的，用来描述量子力学行为的数学模型。它是可以和实验直接比对的。但这件事情做的人还是非常少。但是，其实所有科学突破都是少数人在做的，跟风是做不出好东西出来的。北大给了我们这个条件，所以我就一直在做这个事情。
曾经有人问过我说，你能做出来吗？我的回答是，我不知道我能不能做出来，但是如果我做出来了，那就是诺贝尔奖级别的工作。
我们做这些，是因为中国发展到了一定程度，我们现在有这样的条件。以前我们都是在西方圈定的战场上打仗，比如人工智能，西方自己的DeepMind肯定做的是最好的。我没有说这个不好，但我们也需要有人去开辟自己的战场。
我们现在做的这件事情还只是一个学说，它还需要更多的实验数据、物理模型、实验模拟方法支持，才能形成学术研究领域，才会有更多人参与进来做。
3.邵老师，想问问工程上目前模仿大脑的工作大概做到了哪一步？
离真实的大脑还差很远很远呢。人脑的神经元数量大概在几百亿的量级。欧洲之前有一个全脑模拟计划，想要造出一个机器大脑，类似于神经元一样的东西。但是这样的元件还是经典的，不是量子的。事实上目前的互联网规模已经达到的上百亿的规模，但别说智能了，甚至连意识都没有出现。
所以即使我们没有直接的证据，证明人脑意识和量子力学行为有关，我们也能够反过来推断。服从经典物理的大规模的神经网络并没有出现意识，而组成大脑神经元的微观粒子，也和正常的微观粒子一样服从量子力学行为。因此，可以预见，很有可能就是因为微观粒子的量子力学行为导致了意识的产生。但这个论断目前还没有直接的证据。
4.邵老师，我看您的研究方向里还涉及到高维的微分方程的求解，想问问这和您刚才说的量子和人脑有什么联系呢？
这和量子力学中的Winger方程有关。它就是一个高维的方程。
{$ wavy 这里插一句，做研究一定要弄清楚一些根本的东西。在我这里，优秀的数学人等于内生的学习动力、扎实的数学基础、清晰的物理图像和高超的计算技术。清晰的物理图像非常重要，一定要把物理弄的非常清楚。否则你很难找到自己的战场，你会依赖别人把一个科学问题写清楚告诉你，这不是我的风格。 %}
回到之前的问题。量子力学立于Hilbert空间。与之相对，经典动力学发生在相空间内。为便于研究量子到经典的过渡，人们采用了Wigner函数。它是一个量子对象在相空间的数学模型。我们解的就是这个方程，这也是我们高维的来源。算好这个方程，就有机会理解经典力学和量子力学之间的missing gap。但是，这个方程是6维的，非常不好解。传统打网格的办法肯定没戏了，我们目前主要采用随机粒子算法来计算这个方程。
5.邵老师，随机粒子算法对解这个Winger方程有什么帮助呢？
这也是我们这两年在琢磨的事情。因为高维问题的特性，我们对这个方法有三个要求：第一，希望它有机会克服维度灾难，至少不要像前三类数值方法那样强烈地依赖于网格；第二，希望它除了能适应微分方程之外，也能处理离散的、弱光滑性的、随机的模型，甚至能直接处理前三类方法得到的离散格式。这是对它兼容性的要求，也是现实的需求：在数学模型成型得到公认之前，数值模拟就得参与建模过程，得和数据处理结合，甚至还得和实验直接互动；第三希望它易于并行和容错，对大型高性能计算平台友好，这是体现其处理实际问题计算能力的重要标准。
我们希望我们的方法是高度自适应的方法，这就要求我们的方法拥有随机产生、随机湮灭、随机游走的特性。我们已经在二维、四维、六维、十二维上进行了计算，确实结果都挺好。具体的方法，你可以在arxiv上看我们的论文，背后的数学非常漂亮。在六维问题上，我们用了1/4的计算资源，1/10的时间算出了和传统打网格方法几乎一样的结果。我们花了十几年才走到这一步，但还远没有结束。之所以能坚持，就是因为我们对自己为什么做这件事情、我们自己做研究的动机想得非常清楚了。我们的道心非常坚定了。
6.邵老师，看起来您从事的是一个交叉学科，涉及量子、脑科学等等领域，您是否有和很多其他老师进行合作？
我之前尝试过合作，和化学学院、物理学院的老师之前都有聊过。但是，中国的合作，可能合作起来不是那么友好。在合作的过程中，可能是因为学科的视角不一样，他们会把你的研究给“吃掉”（他们可能不会对我们真正关心的问题给予足够多的重视），所以我现在基本上都是自己在做。
7.邵老师，看起来您从事的是一个交叉学科，涉及量子、脑科学等等领域，您是否有和很多其他老师进行合作？
不要浪费你的生命来做一些跟风式的研究，这在我这里是不允许的。我每写一篇论文，都会问问自己，这个论文的价值在何处。如果我自己回答不了这个问题，那这篇文章我就不写了，我觉得就没必要浪费这时间了。从我的经验来讲，只有这样才能做出真正好的研究。
在我这儿，我把研究分为三个层次：至少在做重要的问题、在重要的问题上取得进展、在重要的问题上取得重要进展。我之前说的四维问题可以说是在重要的问题上取得进展，而六维的计算应该算在重要的问题上取得重要进展，它应该算比较顶尖的工作。尽管文章发不出来，但是历史地位是摆在那里的。因为之前没有人能算这么高维数的方程。
邵老师的纯粹、对自己笃定坚定不移的追求使我感动。在这个风云变幻的时代，坚定己心是实属不易，但与此同时，它又是多么重要，因为只有这样，才能保证自己不被外界的诱惑侵蚀。 现在看来，坚定的信念的必要条件是，必须能够比较清楚地回答我在申请栏目中的提出的问题，需要去思考，去试错。
第二位老师
第二位老师是侯一钊老师。我万分有幸，能与侯老师有过总共两次的视频面谈，每次面谈，侯老师都根据我的实际情况提出了很好的建议，并且分享了他的经历与感悟，让我非常感动、受益匪浅。这里只简要提一些重要的关键点。
第一次的面谈，侯老师提醒我，
第二次面谈，侯老师指导我：
我该怎么选择？
对于博士到底去哪里读，还是等offer来了再做更为细致的考量吧，现在考虑这些没有太大意义。这里就简要探讨一下我可能具有的优势。
而对于我的优势到底是什么，我其实还没有非常清晰的定论。有时候，优势是需要培养的，也并非一成不变。 这里仅提四个我正在考虑的可能成为优势的点：
对于应用领域来说，想要做出好的研究未必依赖绝对的智商和天赋。对于应用领域，时间管理、提升效率也相当重要。
物理的好处是直觉（但也不完全和物理有关，个人目前感觉可能是一种方法）。直觉好的人，可能一个现象见到两三次就能立刻反应过来，引发思考，追根溯源，进行深层次的分析。直觉不好，可能会白白错失机会（慢思考是以快思考为基础的。只有足够多的灵感和积累，才能更为有效地进行慢思考。）。 我们工作的创造性部分常常是在直觉能够到达的地方。剩下的事情就是用数学和分析等把直觉找到的结论给证实、丰富；学物理的人很大的一个本事就是能够抓得住要点，做问题、讲东西纲举目张，脉络清晰。我们学物理的人，一定是努力把一件事情表达地简单且清楚。这是我们的特色。
我并不觉得我能通过数学能力，能在强手如林的数学领域建立自己的优势。没被碾成渣就不错了。我感觉如果我真想做出点什么，那一定是和应用结合起来，一定是需要和别人合作。 虽然和做计算数学的人比起来，我的数学很菜；但如果相比做计算力学、做工程的人，我的数学就会成为一种优势，但是如何让数学在应用的研究中发挥其价值，是我在未来要去思考的问题。另外，我也在早期建立起了比较好的计算机基础（但我写代码的能力其实还是欠缺的，不过如果博士阶段经常写代码的话，应该解决这个问题）。我也正在尝试建立一套面向科研的学习方法，提高学习效率。
我是一个喜欢思考的人。科研中也需要大量的思考。但是思考是要讲求方法的，没有框架的思考很难说有什么意义。我们需要一个大体的思考框架，并保留向外拓展的可能性（创新），进可能保证思考的全面性。在未来，我会试图一套科研中的思考方法的体系架构。
期待
写了这么多，必须承认，这些东西其实是很难在实际里全都落实的，因此难免也就有空想主义之嫌。不过话又说回来，
不过到这儿，这篇总结也就接近尾声了。认认真真回顾了这半年来的经历，现在要继续前行了，说实话，还真有点舍不得（笑）。不过还是尽快进入正题，聊聊接下来半年的规划吧。
计划1:找到克服科研中恐惧心理的办法
这半年来，我发现，对未知的恐惧和逃避可能会成为我在科研道路上的一个巨大的阻碍。有的时候真得逼自己。但目前来说，我还没能太好地解决这个问题。尤其是在很久没碰之后，重新开始做科研的那段时候，这个问题尤其严重。或许之后做科研时间久了，是有可能适应的吧？我还需要时间进一步继续观察。
计划2:继续夯实基础
接下来半年，还需继续夯实基础。下个学期考虑在数学学院选修《复变函数》、《测度论》、《泛函分析》、《数理统计》，计算机学院选修《计算机组织与体系结构》，物理学院选修《电动力学A》（真正的课表应该会有所删减），欢迎约课！另外，寒假和下个学期还要继续要完成毕业设计。
计划3:参加学业讲师团
目前正在考虑是否参加下个学期的学业讲师团，不太确定。
计划4:思考长远的人生规划
申请的时候，我只给出了申请模块中六大问题的初步答案。接下来半年，还需要继续思考这些问题。
计划5:思考在应用数学道路上遇到的问题
另外，虽然选择了应用数学这条路，但其实我还是很多东西没有想清楚，比如：
- 博士选择什么具体的研究方向？
- 计算数学风格的研究，我是否能胜任？
- 如果要解决实际问题，最后估计还是得落实到和工程师合作。但是：真正的工科是怎么解决问题的？怎么和工业生产联系起来的？我又怎么和他们合作？需要注意些什么？
- 如何让数学在应用的研究中发挥其价值？
这些，都需要我做一些尝试，也是之后半年要考虑的。
最后的最后，现在最大的心愿就是能有好的offer！
祝我好运！
后记
其实很羡慕有些人，因为种种因素，他们可能在很小的时候就发现了自己的热爱和优势，从很小的时候就开始追逐梦想。有些大神甚至在本科的时候可能就发出了好几篇PRL、甚至NSC，展现出了令人震惊的科研能力。但我相信，大部分人可能都和我一样，受困于信息差的制约，在本科乃至研究生阶段都在苦苦寻找着感兴趣的研究方向并努力发掘自己的优势。
但我能做些什么呢？“务实，务实，再务实”，我想起了前些天关于黄永刚院士（我系杰出系友）的一篇推送。黄永刚老师的回答是这样：
把握当下，抓住机遇；把握当下意味着厚积薄发，抓住机遇意味着顺时而动；前者是后者的基础和实现的充分条件。“相比起展望未来5年、10年要做什么，我更愿意聚焦当下，想清楚这两年要做的事、最近要做的事对我而言似乎更有实践意义。把自己的基础打得扎扎实实，等机会来了，我就抓住它！”本科生、研究生甚至是博士生的主要工作都是打牢基础，“时刻让自己处于积累的状态，量变引起质变，机会属于有准备的人”。
私以为是对这个问题最好的解答。唯有在当下努力做好应该做的事情，有条不紊、保质保量地履行我做的计划，打好基础，努力积淀，才有可能在未来抓住机遇。
尽管如此，还是必须承认，并非所有努力都会有结果。在科研里，很多时候已经尽了最大努力，但结果可能也并非尽如人意。而所谓机遇，也有可能是一场代价巨大却又未必能有结果的豪赌。而参与这场赌博，本身却已要有足够的勇气和实力。 在没有做出成果之前，谁又能保证，邵嗣烘老师的一腔热血，在未来真的能开辟一个全新的学科？侯一钊老师几十年如一日地攻坚欧拉方程奇点问题，但是在没做出来之前，谁又能保证这种坚持是会有结果的呢？尘埃落定之前，一切都是未知。
